Ο 16χρονος γεννήθηκε στις 6 Μαΐου 1994 στο Λιντς της Αυστρίας από Βόσνιο – Κροάτες γονείς που είχαν εγκατασταθεί εκεί από το 1991.
Ο Ματέο ξεκίνησε να παίζει ποδόσφαιρο από πολύ μικρός στην ακαδημία της τοπικής ομάδας του μέρους διαμονής του την LASK Λιντς . Το 2007, όταν ο Ματέο ήταν 13 ετών , εντοπίστηκε από σκάουτερ μεγάλων ευρωπαϊκών συλλόγων, μεταξύ των οποίων η Στουτγκάρδη , ο Άγιαξ , η Γιουβέντους και η Μπάγερν Μονάχου. Αν και οι γονείς του δέχθηκαν προτάσεις, επέλεξαν να μετακινηθούν και να εγκατασταθούν στη χώρα τους και στο Ζάγκρεμπ. Εκεί εντάχθηκε στην ακαδημία της Ντιναμό Ζάγκρεμπ.
Το 2009 υπέστη κάταγμα στο πόδι, πράγμα που τον άφησε εκτός αγωνιστικών χώρων για μεγάλο διάστημα.
Σε ηλικία 14 χρονών κλήθηκε για πρώτη φορά στην κροατική εθνική ομάδα U15, σε ένα φιλικό αγώνα εναντίον της Σλοβακίας. Από τον Οκτώβριο του 2010 είναι τακτικό μέλος της U17 εθνικής ομάδας της Κροατίας
Στις 20 Νοεμβρίου 2011 έκανε το ντεμπούτο του με την Ντιναμό Ζάγκρεμπ σε εκτός έδρας αγώνα πρωταθλήματος με την Χρβάτσκι Νταγκόβολιατς στον οποίο σκόραρε το τέταρτο από τα έξι γκολ της Ντιναμό. Έτσι έγινε ο νεότερος σκόρερ στην ιστορία του κροατικού πρωταθλήματος, σε ηλικία 16 ετών και 198 ημερών.
Ο Ματέο αγωνίζεται κυρίως ως «10άρι». Χρησιμοποιείται ως αριστερό και δεξί χάφ, αλλά και ως δεύτερος επιθετικός. Είναι δεξιοπόδαρος, αλλά χρησιμοποιεί και τα δύο πόδια. Έχει άριστη τεχνική για την ηλικία του, είναι ακούραστος και ταχύτατος. Το μεγάλο του προσόν είναι οι εκπληκτικές και με ακρίβεια μεταβιβάσεις του. Διαθέτει πολύ δυνατό δεξί σουτ και έχει σκοράρει ορισμένα εκπληκτικής ομορφιάς τέρματα από μεγάλες αποστάσεις.
Από τα Κροατικά μέσα ενημέρωσης έχει συγκριθεί με τον Ντιέγκο Μαραντόνα , τον Λιονέλ Μέσι αλλά και τον Γουέιν Ρούνεϊ . Πλέον τον αποκαλούν «Κροάτη Μέσι».
Αυτή την στιγμή παρακολουθείται στενά από τις μεγαλύτερες ομάδες της Ευρώπης όπως την Άρσεναλ, την Τότεναμ, την Γιουβέντους, την Μαρσέιγ, και την Μπάγερν.
Σύμφωνα με δημοσίευμα της «Sportski Zurnal» ο αντιπρόεδρος της Ντιναμό Ζάγκρεμπ, Ζντράβκο Μάμιτς, προέβη στην αποκάλυψη ότι απέριψε πρόταση ύψους 20 εακτ. ευρώ της Άρσεναλ για την απόκτηση των δικαιωμάτων των Ματέο Κόβασιτς και Σίμε Βρσάλικο. Η πρόταση, αφορούσε την παραμονή τους στην Κροατική ομάδα μέχρι ο Αρσέν Βενγκέρ να θεωρήσει ότι είναι έτοιμοι για το άλμα στην Πρέμιερ Λιγκ.
Ο παλαίμαχος παίκτης του Ολυμπιακού Μάρτιν Νοβοσέλατς δήλωσε για τον Ματέο Kόβασιτς : “Έχω να δω τέτοιο παιδί με τόσο πολύ ταλέντο από την ημέρες του Ρόμπερτ Προσινέτσκι “